همه‌ی چندوجهی‌های منتظم

دیدیم که برای ساخت چندوجهی‌های منتظم محدودیت وجود دارد؛ در واقع تقارن زیاد در هر راس چندوجهی، محدودیتی برای کُنج‌های آن ایجاد می‌کند و تنها با کنارهم‌چیدن 3،4 و 5 ضلعی‌های منتظم، می‌توان امید داشت که چندوجهی منتظم ساخته‌شود. اما شاخص اویلر، تعداد چندوجهی‌های منتظم را بازهم محدودتر می‌کند. برای مثال بیایید حساب کنیم که چندتا چندوجهی منتظم می‌توانیم بسازیم که وجوه آن مثلث باشد.
تعداد وجه‌ها را f می‌نامیم. هر وجه 3 یال دارد و هر یال بین دو وجه مشترک است. پس اگر تعداد یال‌های هر وجه را در تعداد وجه‌ها ضرب کنیم، هر یال دقیقا دوبار شمرده شده‌است. بنابراین

$e=3 \times f/2$

از طرف دیگر، هر وجه 3 راس دارد. اگر در هر راس، $t$ وجه به‌هم رسیده‌باشند، خواهیم داشت

$v = 3 \times f / t$

رابطه‌ی اویلر می‌گوید

$v-e+f=2 \implies {3 \times f / t} - {3 \times f / 2} + f = 2$

هر وجه، یک مثلث متساوی‌الاضلاع است و زاویه‌ی داخلی آن 60 درجه. پس برای کُنج‌ها هم باید داشته باشیم $ 60 \times t < 360$ یعنی $t$ تنها می‌تواند مقادیر 3، 4 و 5 را دشته باشد. بنابراین، برای مقادیر مختلف و ممکن $t$، مقدار $f$,$v$ و $e$ محاسبه می‌شود.

$v$ $e$ $f$  
4 6 4 $t = 3$
6 12 8 $t = 4$
12 30 20 $t = 5$

اگر همین‌کار شرایط را برای 4 و5-ضلعی‌ها نیز بررسی کنیم، تنها دو حجم جدید یافت می‌شود: شش و هشت‌وجهی منتظم! یعنی تنها چندوجهی‌های منتظم، همان 5 حجم افلاطونی مشهور هستند که بشر از 3500 سال قبل می‌شناخته و درگیر کشف ریاضیات حاکم بر آن‌ها بوده‌است.