شاخص اویلر
معروفترین چندوجهیهای منتظم که به اجسام افلاطونی شهرت یافتهاند، در این شکل دیده میشوند.
تعداد راسها، یالها و وجههای هرکدام از اجسام افلاطونی را بشمارید و جدول زیر را پرکنید. اگر کار شمارش خیلی سخت است و نمیتوانید یالها و وجههای پشتی را ببینید، کمی به روشها ریاضیاتی شمارش فکر کنید!
| تعداد راسها ($v$) | تعداد یالها ($e$) | تعداد وجهها ($f$) | $v-e+f$ | |
| چهاروجهی منتظم (هرم) | ||||
| شش وجهی منتظم (مکعب) | ||||
| دوازدهوجهی منتظم | ||||
| بیستوجهی منتظم |
اگر این جدول را برای هر چندوجهی دیگری پرکنید، باز همین نتیجه را خواهید گرفت. مقدار $v-e+f$ که بهنظر یک عدد ثابت میآید، شاخص اویلر نامیده میشود. ریاضیدانان بزرگی چون دکارت، اویلر، لژاندر و کوشی، نزدیک به دویست سال، بهدنبال روشی برای اثبات درستی این رابطه برای چندوجهیها بودهاند. جالب اینجاست که هریک از این افراد، روشی متفاوت با دیگران و منحصر بهفرد برای انجام اثبات یافت. در ادامه، روش کوشی را که به روش ساخت شبکه معروف است، معرفی میکنیم.
ایجاد شبکه
یک چندوجهی را درنظر بگیرید. یکی از وجههای آن را از آن جدا کنید و بردارید. (انگار که در یک ظرف بسته را برداشتهاید.) اگر از ابتدا مکعب داشتید، حالا یک جعبهی بیدَر دارید. حال فرض کنید در این ظرف بیدَر هستید و تمام سطوح جانبی آن را به بیرون و به سمت زمین هُل میدهید. اینکار ار تا جایی ادامه میدهید که همهی وجهها و یالها کاملا کش بیایند و روی زمین پهن شوند. حالا شما یک شبکه از خطوط و نقطهها روی صفحه دارید.
هر وجه چندوجهی اولیه، حالا یک سطح بسته را روی صفحه نشان میدهد که با یالهای تغییرشکل دادهی آن محصور شدهاست. اینها وجههای داخلی شبکه نامیده میشوند. یک وجه بیرونی هم داریم که همهی سطح بیرون شبکه را دربردارد. این وجه بیرونی را معادل با وجهی که همان ابتدا از چندوجهی جدا کردیم درنظر میگیریم. در فرآیند ساخت این شبکه، تعداد یالها و راسها هیچ تغییری نکرده است. پس تعداد راسها، و یالهای شبکهی مسطح با تعداد یالها و راسهای چندوجهی اولیه برابر است. مجموع تعداد وجههای درونی و بیرونی شبکه نیز با تعدد کل وجههای چندوجهی مساوی است. بهاینترتیب، اگر درستی رابطهی اویلر را برای شبکهی مسطح نشان دهیم، میتوانیم مطمئن باشیم که این رابطه برای چندوجهیها نیز درست است.
ایجاد تغییرات در شبکه
برای اثبات برقراری رابطهی اویلر برای شبکه، لازم است مقدار $f$,$e$ و $v$ را بشماریم. برای راحت شدن اینکار، گاه نیاز است تغییراتی در شکل شبکه ایجاد کنیم. این تغییرات در سهمرحله انجام میشود که در زیر معرفی شدهاند:
گام اول- مثلثبندی- اگر در شبکه، وجهی با بیش از سهضلع داشته باشیم، با رسم قطرهای آن، آن را به چند مثلث تبدیل میکنیم. به این ترتیب همهی وجهها به مثلث تبدیل میشوند بدون اینکه شاخص اویلر شبکه تغییر کند.
گام دوم- در شبکهای که بهطور کامل مثلثبندی شدهاست، وجهی را که تنها یک یال مشترک با وجه بیرونی دارد حذف میکنیم. با کمی دقت در شکل میبینیم که شاخص اویلر شبکه تغییر نمیکند. بهاینترتیب شبکه را تا جایی که امکان دارد کوچک میکنیم بدون اینکه شاخص اویلر آن تغییر کند.
گام سوم- اگر در شبکه وجهی داشتیم که با وجه بیرونی دو یال مشترک داشت، این وجه را حذف میکنیم. اینبار هم شاخص اویلر شبکهی باقیمانده تغییری نمیکند، اما شبکه بازهم کوچکتر میشود.
گامهای گفتهشده را بهدرستی اجرا میکنیم تا شبکهای کوچک حاصل شود. اما ترتیب اجرای گامها بسیار مهم است. با گام اول آغاز میکنیم. و سپس کار را با گامهای دوم و سوم ادامه میدهیم. توجه کنید که همیشه اولویت با گام سوم است، یعنی هرگاه امکان اجرای گام دوم و سوم همزمان داشتید، ابتدا باید گام سوم را اجرا کنید. نکتهی دیگر اینکه در هر گام، تنها میتوانید یک وجه را حذف کنید و پس از هرگام، باید مجددا بررسی کنید که گام بعدی کدام است. کار را ادامه دهید تا دیگر امکان حذف هیچ وجهی باقی نماند. چون تعداد وجهها محدود است، این روش بالاخره در جایی متوقف میشود. اما سوال مهم ایناست که آخرِسر، چه چیزی از شبکهی اولیه باقی میماند؟
شبکهی مثلثبندیشده، تعدادی وجه مثلثی داشت که بههم متصل بودند. در هر گام، یکی از این وجهها حذف شده است، اگر کمی دقیقتر فکر کنید، این حذفها تا جایی ادامه مییابد که دقیقا یک مثل باقیبماند. برای این مثلث، نه گام دوم را میتوان اجرا کرد، نه گام سوم را! این مثلث 3 راس، 3 یال و 2 وجه در صفحه مشخص میکند: $3-3+2=2$
گفتیم که با انجام تغییرات گفتهشده، شاخص اویلر شبکه بدون تغییر ماندهاست؛ پس اگر در پایان شاخص اویلر 2 است، از ابتدا هم این عدد برابر با 2 بودهاست. اثبات کوشی کامل شد.
کشف و اثبات این رابطه، از یکسو موجب خوشحالی است، چون رابطه و قانونی جدید در ریاضیات بدست میدهد، اما از طرف دیگر، محدودیتی جدید برای ساخت چندوجهیهای منتظم را بهما نشان میدهد.
