نمونه ای از روش خیام
وقتی امروز به روشهای خیام برای حل معادلات نگاه میکنیم، آنها شبیه به روشهایی هستند که در مقالۀ «حل معادلات با روشهای ترسیمی» دیدید. البته در زمان خیام نه دستگاه مختصاتی درکار بوده، نه $x$ای و نه $y$ ای! ممکن بود راهحل فقط یک معادله، پنجاه صفحه طول بکشد! کار ریاضیدانان قدیم برای حل این معادلهها، از کار شما ریاضیدانان امروزی، خیلی سختتر بوده است.
مثلاً به این صفحه که یکی از راهحلهای کتاب خیام است توجه کنید:
حالا بیایید یکی از راهحلهای خیام برای حل معادلههای درجۀ سه را به زبان امروزی بخوانیم. راهحل را بخوانید، و بعد بلافاصله، مثال را ببینید تا متوجه راهحل شوید.
راهحل برای معادلۀ $x^3 + ax^2 = b$ (در اینجا میخواهیم $x$ را پیدا کنیم. یعنی $a$ و $b$ عدد هستند).
ابتدا شکل $y = {{x^2 } \over a}$ را رسم میکنیم. نام این شکل «سهمی» است. (در قسمت بعدی، دربارۀ سهمی توضیح میدهیم.)
سپس دایرهای بهشعاع ${b \over {2a^2 }}$ را رسم میکنیم، طوری که مرکزش روی محور$x$ ها باشد و محور $y$ها بر آن مماس باشد (مرکز این دایره، نقطۀ $\begin{bmatrix}b \over {2a^2 }\\0\end{bmatrix}$ است).
سهمی و دایره در مبدأ و در نقطهای دیگر مانند $P$ یکدیگر را قطع میکنند. با استفاده از نقطۀ $P$ در شکل بالا، میتوانیم جواب را پیدا کنیم: طول این نقطه، جواب معادله است.
مثال. در شکل زیر، همین روش درمورد معادلۀ $x^3 + 5x^2 = 100$ به کار رفته است، و جواب تقریباً برابر $3$ است.
اثبات. همانطور که در قسمتهای قبلی دیدید، معادلۀ دایرهای به مرکز $\begin{bmatrix}b \over {2a^2 }\\0\end{bmatrix}$و با شعاع ${b \over {2a^2 }}$ برابر است با $(x - {b \over {2a^2 }})^2 + (y - 0)^2 = ({b \over {2a^2 }})^2 $.
حالا بیایید ببینیم نقطۀ برخورد چه وضعیتی دارد؛ آیا $x$ این نقطه، جواب معادلۀ مطوب است؟ پس میخواهیم دستگاه
$\left\{\begin{array}{ll} {y ={{x^2 } \over a}}\\ {(x - {b \over {2a^2}})^2} + y^2 = ({b \over {2a^2 }})^2 \end{array} \right$
را حل کنیم. بهجای $y$ در معادلۀ پایین، از معادلۀ بالا ${{x^2 } \over a}$ را قرار میدهیم و به معادلۀ
$(x - {b \over {2a^2 }})^2 + ({{x^2 } \over a})^2 = ({b \over {2a^2 }})^2$
میرسیم. با ساده کردن، به معادلۀ $x^3 + ax^2 = b$ میرسیم و درستی روش ثابت میشود.
سؤال: در این روش، آیا ممکن است $b$ عددی منفی باشد؟ چرا؟
سؤال: آیا با این روش، مطمئن هستیم که همۀ جوابهای معادله را پیدا میکنیم؟ چرا؟
خیام معادلههای درجۀ یک، درجۀ دو و درجۀ سه را به بیست و پنج دسته تقسیم کرد. بعضی از دستهها، از دید امروزی با هم تفاوتی ندارند. اما روش رسم برای این معادلههای یکسان، متفاوت است. مثلاً اینکه اعداد مثبت باشند یا منفی، تفاوت ایجاد میکند، همانطور که در روش بالا دیدید.
چندتا از این دستهها به زبان امروزی اینها هستند:
$x^3 + bx = a$
$x^3 + a = bx$
$x^3 = a + bx$
