حل معادلات جبری به روش ترسیمی
حل معادلات جبری به روش ترسیمی
دستگاههای دومعادله و دومجهولی را به خاطر دارید؟ در چنین معادلههایی، دو مجهول داریم مانند xو y و دو معادله برحسب آنها. میخواهیم مقدارهایی برای$x$و $y$ پیدا کنیم که هم به معادلۀ اول بخورند و هم به معادلۀ دوم. مثلاً وقتی میخواهیم دستگاه
را حل کنیم، دنبال مانند $x$ و $y$ میگردیم، طوریکه هم حاصل $2x + 3y$ برابر $21$ شود و هم حاصل $3x + y$ برابر $14$ شود.
آیا میتوان $x$ و $y$هایی که $2x + 3y = 21$ را بهراحتی توصیف کرد؟ بله! هر نقطهای از خط $2x + 3y = 21$ را که در نظر بگیرید، طولش را میتوانید $x$ و عرضش را $y$ بدانید و ایندو، در معادلۀ $2x + 3y = 21$ صدق میکنند. مثلاً اگر $x = 6$ و $y = 3$، میبینیم که $2x + 3y = 21$.
اما بعضی از اینها، مثل همین جواب $x = 6$ و $y = 3$، بهدرد معادلۀ $3x + y = 14$ نمیخورند!
یعنی نقطهای را میخواهیم مثل $\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}$ که هم روی خط $2x + 3y = 21$ باشد و هم روی خط $3x + y = 14$.
بنابراین، میتوانیم نقطۀ تقاطع این دو خط را بیابیم، و مسئله حل میشود!
در شکل بالا میتوانیم با استفاده از خط کش، طول و عرض نقطهی تقاطع یا همان $x$ و $y$ را با دقت خوبی اندازهگیری کنیم.
همین روش را میتوانیم برای حل معادلههای دیگر هم استفاده کنیم. مثلاً برای حل دستگاه معادلههای زیر
$\left\{ \begin{array}{ll}{y = x^2 + 1 } \\ {y = -2x + 1 }}\end{array} \right$
دوباره میتوانیم خط که نه، اما خمهایی را که هریک از دو معادله مشخص میکنند رسم کنیم، و نقاط تقاطع دو خم را پیدا کنیم.
البته می توانید دستگاه بالا را به روش دیگری هم حل کنید: دو طرف هریک از معادلهها، $y$ داریم، پس کافی است با حل معادلۀ $x^2 + 1 = 3x - 5$ اول $x$ را پیدا کنید، و بعد هم با جاگذاری در یکی از معادلهها، $y$ را پیدا کنید.
حالا اگر بخواهیم معادلۀ $2x^2 - 3 = 17 - 2x$ را حل کنیم، میتوانیم دستگاه زیر
$\left\{ \begin{array}{ll}{y = 2x^2 - 3 } \\ {y = 17x - 2 }}\end{array} \right$
را تشکیل بدهیم، و همان راهحل بالا را تکرار کنیم.
بعضی راهحلهایی که در دوران قدیم برای معادلههای پیچیده پیدا شدند، تقریباً از همین فکر استفاده میکنند که اگر بتوانیم شکل دو طرف معادله را رسم کنیم، میتوانیم معادله را حل کنیم. مثلاً فرض کنید وسیلهای داریم که شکل $y = {1 \over x}$ را برایمان رسم میکند و نیز وسیلهای داریم که شکل $y = x^2 + 2x + 1$ را برایمان رسم میکند.
پس میتوانیم معادلۀ ${1 \over x} = x^2 + 2x + 1$ را حل کنیم:
که فرقی با معادلۀ $1 = x^3 + 2x^2 + x$ ندارد (دو طرف را در $x$ ضرب کنید). پس میتوانیم معادلۀ $1 = x^3 + 2x^2 + x$ را دستکم بهطور تقریبی حل کنیم. باور میکنید؟!
تمرین پیشنهادی- به همین روش، معادلۀ $\sin x = x$ را حل کنید.
