مقدمه
توپولوژی مطالعهی ریاضی خواصی از اشیا است که تحت دگردیسیها، پیچ و تاب دادنها و کش دادنها و فشرده کردنها، غیر از پاره کردنها و گسستنها، ثابت میمانند. یک دایره به طور توپولوژیک معادل با یک بیضی است. زیرا میتوان آن را با کشیدن و فشردن به بیضی تبدیل کرد. همچنین یک کره با یک بیضیوار معادل است. همچنین تمام وضعیتهای ممکن انتهای عقربهی ساعتشمار به طور توپولوژیک معادل یک دایره است (در توپولوژی میتوان دایره را خم بستهای در صفحه در نظر گرفت که خود را قطع نمیکند). و نیز تمام وضعیتهای ممکن انتهای عقربههای ساعتشمار و دقیقهشمار به طور توپولوژیک معادل با رویهی یک چنبره است (شکلی شبیه تویوپ باد شدهی لاستیک دوچرخه).
و مجموعهی تمام وضعیتهای ممکن عقربههای ساعتشمار، دقیقهشمار و ثانیهشمار به طور توپولوژیک معادل با یک شیء سه بعدی است! توپولوژی با مطالعهی خمها، رویهها و سایر اشیا در صفحه و فضای سه بعدی آغاز میشود. یکی از ایدههای اصلی در توپولوژی این است که اشیا خاصی مثل دایره و یا کره را میتوان به عنوان موجودات توپولوژیک، مستقل از چگونگی نمایش آنها در فضا، مورد مطالعه قرار داد. به عنوان مثال این گزاره را در نظر بگیرید: «اگر یک نقطه را از یک دایره حذف کنید، یک پارهخط بدست میآورید». این گزاره در مورد دایره و بیضی و حتی یک دایره گره خورده در فضا نیز صادق است، چرا که این گزاره تنها شامل خاصیتهای توپولوژیک است.
همچنین توپولوژی، مطالعه اشیا خاصی مثل خمها، رویهها، فضای کیهانی که در آن قرار داریم، فضا-زمان در نسبیت عام، فراکتالها، گرهها، چندگوناها (اشیایی با برخی خواص بنیادی ویژه، شبیه کیهانی که در آن قرار گرفتهایم)، فضای حالت که در فیزیک با آن مواجه میشویم (مانند فضای وضعیتهای قرار گرفتن انتهای عقربهی ساعتشمار)، گروههای تقارن (مانند مجموعهی راههای دوران یک مخروط) و... است.
با وجود آن که جملههای بالا کمی واژهی توپولوژی را توصیف میکنند، اما بهترین راه برای شناخت بهتر توپولوژی، مواجههی بیواسطه با آن است. پس بیایید با هم کمی توپولوژی بورزیم.
