و بالاخره تثلیث!

یک روز صبح زمانی که آقای ثلاثی به دنبال سؤالی برای امتحان پایان دوره‌ی کلاس هندسه‌اش می‌-گشت، به طور اتفاقی توانست مسئله‌ای را حل کند که تمام جوانی‌اش را صرف حل کردنش کرده بود؛ تثلیث زاویه! ماجرا از این قرار بود:

زیر درختی نشسته بود و به دنبال مسئله‌ای می‌گشت که بتواند تمام مهارت‌های شاگردانش را در هندسه‌ی کاغذ و تا بسنجد. مربعی درست کرد و تایی روی آن زد که از یکی از رأس‌ها می‌گذشت، و بعد دو تا موازی یکی از اضلاع زد، بعد تا‌های مختلفی را امتحان کرد که دو نقطه را روی دو خط از خطوط شکلش منتقل کنند، هر بار شکلش را نگاه می‌کرد تا ببیند چه مسئله‌ای می‌تواند برای این شکل طرح کند. چیزی به ذهنش نرسید، بی‌هدف و شاید بر اساس عادتی خیلی قدیمی، زاویه‌ای را که روی یکی از اضلاع مربع ساخته بود به طور حدودی به سه قسمت تقسیم کرد و روی برگ علامت زد، و باز شروع کرد به بازی کردن با شکلی که ساخته بود تا شاید مسئله‌ی خوبی پیدا کند. ناگهان متوجه شد یکی از تا‌ها به طور تقریبی یکی از خط‌هایی را می‌دهد که روی برگ علامت زده بود!

هرچند که مدت‌ها بود به جزیره عادت کرده بود و از فکر تثلیث زاویه و بازگشت به اقلید بیرون آمده بود، ولی از سر کنجکاوی شروع کرد به آزمودن حدسی که زده بود، چند شکل دیگر کشید، تاهایی را که به‌نظرش بی‌فایده بودند، روی شکل‌های جدید ایجاد نکرد، تاهایی را که به‌نظر مفید بودند دقیق‌تر درست کرد و شرایطی هم برای این تا‌ها گذاشت، در‌‌نهایت موفق شد اثباتی برای روش تثلیثش پیدا کند. نتیجه‌ی کار این بود که مسئله‌ی مورد نظرش برای امتحان شاگردانش پیدا شد! تصمیم گرفت امتحان را در دو مرحله برگزار کند، در مرحله‌ی اول از شاگرد‌ها بخواهد با چند راهنمایی روش تثلیث را حدس بزنند، و در مرحله‌ی بعدی امتحان، روش به آن‌ها داده شود و بخواهد که اثباتی برای آن ارائه کنند. پس امتحان را این طور طراحی کرد:

مرحله‌ی اول:

۱- مربع ABCD را بسازید، از رأس B نیم خط دلخواهی رسم کنید و تقاطعش را با ضلع مربع P بنامید. حالا دو تا موازی با ضلع BC طوری رسم کنید که یکی از تا‌ها دقیقاً وسط تای دیگر و ضلع BC قرار بگیرد. هدف ما پیدا کردن روشی است که با استفاده از اصول هندسه‌ی کاغذ و تا، بتوانیم زاویه‌ی PBC را به سه قسمت مساوی تقسیم کنیم؛ این روش را پیدا کنید.
راهنمایی: از آن‌جا که می‌دانیم این کار با خط‌کش و پرگار به تنهایی ممکن نیست، و این‌که اصل ششم هندسه‌ی کاغذ و تا تنها اصلی است که درباره‌ی تایی حرف می‌زند که با خط کش و پرگار امکان پیدا کردنش نیست، استفاده از این اصل برای پیدا کردن روش تثلیث ضروری است!

پیشنهاد دیگری که آقای ثلاثی حین برگزاری امتحان برای رسیدن به یک حدس خوب داد، این بود که اول به طور تقریبی زاویه را به سه قسمت تقسیم کنند و ببینند با تا کردن‌هایشان چه خطی به این تقسیم بندی تقریبی نزدیک می‌شود.