جایزه‌ی بزرگ!
چند روز گذشت، آقای ثلاثی برگ‌های چند درخت را تمام کرد و کم‌کم داشت از پیدا کردن اصل دیگری برای ساختن هندسه‌اش ناامید می‌‌شد.
وقتی چند نفر از ساکنان جزیره برای جمع آوری محصولات، به مزارع شمال غربی جزیره رسیدند، با مرد غریبه‌ای مواجه شدند که محصول چند درختشان را با تا کردن‌های بیهوده از بین برده بود و داشت با دقت برگ دیگری را تا می‌‌کرد! آقای ثلاثی فرصت نکرد خوشحالی‌اش را از دیدن ساکنان جزیره ابراز کند؛ چرا که خیلی زود ساکنان عصبانی جزیره او را گرفتند و با خودشان بردند؛ خیلی زود به قسمت‌هایی از جزیره رسیدند که تا به‌حال ندیده بود، همه جا پر بود از شکل‌های زیبایی که با تا کردن برگ‌‌ها به دست آمده بود، همین طور از مردان و زنانی که مشغول تا کردن برگ‌‌ها بودند.
به خانه‌ی رئیس جزیره رسیدند، دوباره آقای ثلاثی در دادگاهی به عنوان متهم حاضر شده بود. برخلاف دفعه‌ی قبل، این بار دادگاه خیلی زود به نتیجه رسید، آقای ثلاثی باید برای جبران خسارتی که به محصول برگ جزیره زده بود، به مدت یک ماه در یکی از کارگاه‌های جزیره به عنوان یک «برگ تا کن»ِ ساده کار می‌‌کرد.
روزهای اول، کارهای ابتدایی به او سپرده می‌‌شد. مثلاً اینکه تایی بزند که از دو نقطه‌ی مشخص بگذرد؛ یا دو نقطه‌ی تعیین شده را روی هم منطبق کند. حتی از همین کارهای ساده هم لذت می‌‌برد. مخصوصاً وقتی برگ‌های رنگارنگ پاییزی را می‌‌دید که در دستان اهالی جزیره به شکل‌های مختلف در می‌‌آید. خیلی زود مهارتش در تا زدن باعث شد که کارهای پیچیده‌تری هم به او سپرده شود. مثلاً یک روز «سر برگ تاکن» ِ کارگاه، یک خط و دو نقطه را روی برگی نشانش داد و گفت:
حالا که به اندازه‌ی کافی در تا زدن مهارت داری، تایی بزن که از این نقطه بگذرد و این یکی نقطه را روی خط منطبق کند.
آقای ثلاثی به سرعت توانست چنین تایی بزند. مدتی سرگرم تا زدن بود، ولی بعد ناگهان یاد اصول هندسه‌اش افتاد، این «تا» می‌‌توانست اصل پنجم هندسه‌اش را بسازد. با هیجان زیاد خودش را به خانم سربرگ تاکن کارگاه رساند و از او پرسید:
آیا همیشه برای هر دو نقطه و هر خطی روی برگ، می‌‌توان چنین تایی پیدا کرد؟
و با این جواب مواجه شد که:
کاش این طور بود! ولی گاهی اوقات حتی ماهر‌‌ترین برگ تاکن‌‌های‌مان هم نمی‌‌توانند چنین تایی پیدا کنند، هیچ کس هم نمی‌‌داند چرا. طراحان شکل‌های کاغذی جزیره، تا به‌حال تلاش زیادی کرده‌اند تا بفهمند چه مواقعی نمی‌‌شود چنین تایی پیدا کرد؛ ولی موفق نشده‌اند. پیدا کردن جواب این سؤال و چند سؤال دیگر آن‌قدر برای ساخت شکل‌های کاغذی مهم است که رئیس جزیره جایزه‌ی بزرگی برای جوابشان تعیین کرده.
بعد سه برگ به آقای ثلاثی داد که معلوم بود بار‌‌ها تا شده‌اند و گفت:
مثلاً این‌‌ها را نگاه کن، هیچ کس تا به حال نتوانسته در هیچ کدام از این سه شکل تایی پیدا کند که از نقطه‌ی آبی بگذرد و نقطه‌ی قرمز را روی خط پایین منطبق کند.
آقای ثلاثی مدت کوتاهی کار را رها کرد و به پیدا کردن جواب این مسئله پرداخت. نه برای جایزه‌ی رئیس جزیره؛ برای ساختن هندسه‌ی خودش. در نهایت جواب پیدا شد!
با اینکه گاهی اوقات این کار ممکن نبود، ولی آقای ثلاثی فکر کرد هنوز هم می‌‌تواند این تا را با یک تبصره‌ی کوچک به عنوان یک اصل قرار بدهد، پس اصل پنجم را این طور نوشت:
۵- اگر روی یک برگ یک خط و دو نقطه‌ی $p_1$ و $p_2$ داده شده باشد، تایی وجود دارد که از $p_2$ گذشته و $p_1$ را روی خط منطبق می‌کند. (مگر در مواقعی که.....)
فکر می‌کنید آقای ثلاثی عبارت داخل پرانتز را چه طور ادامه داد؟ چه زمان‌هایی میشود چنین تایی پیدا کرد؟ آیا این اصل به آقای ثلاثی ابزاری بیش از خط‌کش و پرگار می‌دهد یا با خط‌کش و پرگار هم میشود این تا را پیدا کرد؟
آقای ثلاثی به عنوان راهنمایی توجه شما را به شکل مقابل جلب می‌کند:
اگر ’A نقطه‌ای از خط d باشد که تا نقطه‌ی A را روی آن منطبق می‌کند، در مورد طول A’B چه می‌توانید بگویید؟
