پرونده‌ای درباره‌ی ناممکن‌ها

مدیر مجله بعد از گرفتن نامه‌ها و مقاله‌های ارسال شده از منشی، نگاه گذرایی به نامه‌ها انداخت و با دیدن مقاله‌ای از طرف آقای ثلاثی، فهمید که روزهای پُرماجرایی در پیش است. عنوان مقاله این بود: «سی و هفتمین روش برای تقسیم زاویه به سه قسمت برابر به وسیله‌ی خط‌کش و پرگار». با تأسف سرش را تکان داد و گفت:

خدای من! باز یک روش تازه برای یک کار غیر ممکن! طی ده سال گذشته، این دویست و پنجاه و یکمین بار است که برای‌مان چیزی در این باره می‌فرستد. حیفِ این همه تلاش که در این راه به هدر رفت. راه هم که نه، بیراهه! حالا باید وقت و انرژی‌مان را به جای بررسی مقاله‌های جدی و کارهای معمول مجله، صرف شکایت از این آقا بکنیم، بلکه این بار بفهمد غیر ممکن یعنی واقعاً غیر ممکن! پس کار امروز تو این است: تنظیم شکایتنامه برای این پرونده.

چهار روز بعد، جلسه‌ی محکمه‌ی ریاضیات شهر اُقلید
منشی دادگاه:

دادگاه رسمی است! لطفاً سکوت کنید. در این جلسه به بررسی شکایت مجله‌ی ریاضیات شهر اُقلید علیه آقای ثُلاثی، مشهورترین تثلیث‌گر شهر می‌پردازیم.

سپس دادستان محاکمه را این طور شروع کرد:

مدیر مجله مدعی است در طول ده سال گذشته بیش از دویست و پنجاه نامه از آقای ثُلاثی به دفتر مجله رسیده که ایشان طی این نامه‌ها قصد داشته‌اند تا روش‌هایی برای تقسیم زاویه‌ای دلخواه به سه قسمت برابر به‌وسیله‌ی خط کش و پرگار ارائه کنند. این نامه‌ها حاوی سی و هفت روش متفاوت بوده و به طور تقریبی هر مقاله از صد و بیست و پنج صفحه تشکیل ‌شده است. طبق گفته‌ی مدیر مجله، گروه هندسه‌ی مجله به پنجاه ‌و سه نامه‌ی اول ایشان پاسخ داده و طی آن نامه‌ها تلاش شده تا آقای ثلاثی متقاعد شود که تقسیم برخی از زوایا به سه قسمت مساوی به وسیله‌ی خط کش و پرگار امکان ناپذیر است. همین‌طور گروه هندسه، طی چندین مقاله اثبات‌هایی برای این‌که پیدا کردن چنین روشی از نظر ریاضی غیر ممکن است، در مجله ارائه کرده‌اند. با این ‌وجود آقای ثُلاثی بی هیچ توجهی به این مقالات و پاسخ‌های داده شده از طرف گروه هندسه، هم‌چنان به ابداع روش‌های جدید برای این کار ادامه داده‌اند. پس از مدتی گروه هندسه برای صرفه‌جویی در وقت و هزینه‌های دیگر، و همین‌طور به امید قطع شدن این نامه‌ها، از پاسخ دادن به نامه‌های ارسالی از طرف آقای ثلاثی خودداری کرده‌اند. ولی دریافت این نامه‌ها هم‌چنان ادامه پیدا کرده است.
طبق گفته‌ی مدیر مجله، ماه گذشته مجله‌ی ریاضی و آقای ثلاثی توافق کرده‌اند که به محض دریافت اولین نامه، مجله حق دارد به خاطر مزاحمت‌های مکرر ایشان در ارسال مقاله‌های بی‌معنا، از ایشان به محکمه‌ی ریاضیات شهر شکایت کند، و در صورتی‌که آخرین مقاله از طرف دادگاه دارای اشتباه تشخیص داده شود، آقای ثلاثی، حکم دادگاه را، هرچه باشد، بپذیرد.
آقای ثلاثی! آیا ادعاهای مطرح شده توسط مدیر مجله‌ی ریاضی را تأیید می‌کنید؟

و حالا آقای ثلاثی باید از خودش دفاع می‌کرد، وکیلش در جواب به دادستان گفت:

تأیید می‌کنم که موکلم دویست و پنجاه و یک نامه درمورد روش‌های تثلیث زاویه به مجله‌ی ریاضی ارسال کرده است، علاوه بر این بقیه‌ی ارقامی را که دادستان به آن‌ها اشاره کردند، و همین‌طور توافق موکلم با مدیر مجله‌ی ریاضی را تأیید می‌کنم. ولی به‌عبارت «ارسال مقاله‌های بی‌معنا» اعتراض دارم. همین‌طور از دادستان تقاضا می‌کنم منظور خود را از واژه‌ی «ناممکن» بیان کند، چرا که این واژه برای من و موکلم به هیچ وجه معنایی ندارد. آقای ثُلاثی براین عقیده است که «غیر ممکنی وجود ندارد، و یک ذهن خلاق به هرچه بخواهد می‌رسد.»

رئیس دادگاه:

اعتراض وارد نیست! ادامه‌ی دادرسی!

و بعد دادستان مدیر مجله را برای توضیح کلمه‌ی ناممکن به جایگاه احضار کرد، وی این کلمه را به این‌شکل توضیح داد:

از دادگاه محترم تقاضا دارم که آقای ثُلاثی به‌عنوان کسی که معتقدند «غیر ممکنی وجود ندارد»، به این چند سؤال من پاسخ دهند: اول این که آیا امکان دارد روشی در محاسبه ابداع کنیم که در آن جمع دو عدد فرد، عددی فرد شود؟

و آقای ثلاثی با آرامش جواب داد:

خیر! امکان ندارد، ولی این مثال شما با تثلیث زاویه تفاوت زیادی دارد، چرا که روش‌های متفاوتی برای جمع دو عدد وجود ندارد، در حالی ‌که برای تثلیث، روش‌های متفاوتی می‌تواند وجود داشته باشد. ادعای شما در مورد مسئله‌ی تثلیث زاویه این است که امکان ندارد هیچ کس، هرقدر هم باهوش باشد، بتواند توسط خط‌کش و پرگار روشی برای تقسیم هر زاویه‌ی دلخواه به سه قسمت مساوی، پیدا کند. من در این‌مورد منظور شما را از «غیرممکن» نمی‌فهمم و معتقدم در این مورد اشتباه می‌کنید. لطفاً در این‌مورد توضیح دهید.

مدیر مجله در حالی‌که رضایت‌مندانه سرش را تکان می‌داد، سؤال دومش را مطرح کرد:

و اما دومین سؤال: آیا امکان دارد یک مربع $9\times9$ را با تعدادی مستطیل $2\times1$ به طور کامل بپوشانیم؟

این بار هم جواب آقای ثُلاثی «خیر» بود، و معتقد بود واضح است که این کار غیرممکن است، درحالی‌که در مورد تثلیث چنین وضوحی در کار نیست، و از مدیر خواست تا مثال دیگری بزند. مدیر حرف‌هایش را به این‌ شکل ادامه داد:

تا به حال وجود دو غیرممکن در ریاضیات را پذیرفته‌اید، هرچند که به نظر من پذیرفتن همین دو مورد هم به‌معنای نقض حکم کلی شماست ‌که غیر ممکنی وجود ندارد، و یک ذهن خلاق به هرچه بخواهد می‌رسد. با این‌حال آیا ممکن است که یک صفحه‌ی $6\times6$ را با مستطیل‌های $4\times1$ بپوشانیم؟ و اگر جواب این سؤال هم مثل سؤال قبل واضح است، درمورد یک مربع $422\times422$ چه‌طور؟ آیا می‌توان آن را با مستطیل‌های $4\times1$ پوشاند؟

آقای ثلاثی دست به کار کشیدن یک مربع $6\times6$شد و بعد از چند دقیقه جواب داد:

این کار هم ممکن نیست، ولی در مورد آن مربع بزرگ‌تر نظری ندارم، شاید بشود، شاید هم نه. اما چیزی که برای من واضح است این است که این دلیل که «تا به‌حال کسی نتوانسته چنین مربعی را با مستطیل‌های $4\times1$ بپوشاند»، دلیلی برای امکان‌ناپذیری این کار نیست، به عنوان مدیر معتبرترین مجله‌ی ریاضیات دنیا، با من موافق نیستید؟!

این بار مدیر مجله در حالی که قادر نبود شادی‌اش را پنهان کند جواب داد:

البته که موافقم! جواب همه‌ی سؤال‌های من این بود که «این کار غیر ممکن است»، ولی هیچ‌کدام نه به‌این‌خاطر که تا به‌حال هیچ‌کس نتوانسته چنین کاری بکند، بلکه غیرممکن بودن هر کدام از این کارها یک دلیل موجه ریاضی دارد. یعنی می‌توان اثبات کرد که این کارها غیر ممکن‌اند، آن هم یک اثبات کاملاً ریاضی. در مورد اولی، دو عدد فرد $2m+1$ و $2n+1$ را در نظر می‌گیریم، جمع این دو عدد، با هر روشی و توسط هرکسی که انجام گیرد، برابر است با $2m+2n+2$، یا به‌عبارتی $2(m+n+1)$، که همیشه عددی است زوج. در مورد دومی، مربع $9\times9$ ، $81$ خانه دارد که عددی است فرد، و اگر بخواهیم آن را با $n$ عدد مستطیل $2\times1$ بپوشانیم، می‌توانیم $2n$ خانه از صفحه را بپوشانیم، در حالی‌که $2n$ عددی است زوج و به ازای هیچ عدد طبیعی $n$ رابطه‌ی $2n=81$ برقرار نیست. در مورد صفحه‌ی $6\times6$، می‌توانیم فرض کنیم صفحه با چهار رنگ مختلف به صورت قطری رنگ شده، و سعی کنیم این صفحه‌ی رنگی را با مستطیل‌های $4\times1$ بپوشانیم. حال هر مستطیل را در هر کجای صفحه که قرار دهیم، از هر رنگ، یک خانه را می‌پوشاند، پس اگر بتوانیم مربع را با این مستطیل‌ها بپوشانیم، باید تعداد خانه‌های هر کدام از رنگ‌ها با هم برابر باشد، درحالی‌که با شمردن خانه‌های هر رنگ می‌بینیم که این طور نیست، پس این کار هم غیر ممکن است...

ناگهان صحبت‌های مدیر مجله با اعتراض وکیل آقای ثلاثی قطع شد، وکیل معتقد بود این حرف‌ها، ارتباطی با مسئله‌ی مورد بررسی در دادگاه ندارد، و این اعتراض از طرف رئیس دادگاه وارد تشخیص داده شد. به ‌همین ‌خاطر رئیس از مدیر مجله خواست که به موضوع مورد بررسی، یعنی تثلیث زاویه بپردازد. پس مدیر مجله این طور ادامه داد:

بله، همان طور که آقای ثلاثی گفتند این کارها غیرممکن‌اند، و همان‌طور که حین ذکر اثبات‌ها با سر تأیید می‌کردند، این اثبات‌ها از نظر ریاضی معتبرند. این کارها غیرممکن هستند، نه‌به‌خاطر این‌که کسی تا به‌حال از عهده‌ی انجامشان برنیامده، بلکه به‌این‌خاطر که می‌شود اثبات ریاضیاتی ارائه داد که این کارها غیرممکن‌اند. پس اگر کسی نتواند با جمع کردن دو عدد فرد به عددی فرد برسد یا نتواند صفحه‌ی $9\times9$ را با مستطیل‌های $2\times1$ بپوشاند یا ....، به این معنا نیست که از هوش بالایی برخوردار نیست، بلکه ساختار این مسائل چنین اجازه‌ای به ما نمی‌دهد. به‌عنوان یک مثال که به بحث نزدیک‌تر است، می‌گویم که به‌وضوح غیرممکن است که با یک پرگار، روی صفحه‌ی کاغذ یک خط بکشیم. یک پرگار فقط و فقط می‌تواند یک دایره بکشد و نه هیچ کار دیگری. حال اگر کسی نتواند با پرگار یک خط بکشد، این به معنای ضعف توانایی‌های آن فرد نیست، بلکه ساختار پرگار به شخص اجازه‌ی رسم یک خط را نمی‌دهد یا به‌عبارتی برای رسم خط به ابزاری غیر از پرگار نیاز داریم. در مورد تثلیث زاویه هم وضعیت مشابهی داریم، با این تفاوت که مسئله‌ی غیرممکن بودن تثلیث به وسیله‌ی خط‌کش و پرگار، به اندازه‌ی غیرممکن بودن رسم خط به وسیله‌ی پرگار، واضح نیست. ولی مثل مثال‌هایی که دقایقی قبل عرض کردم، اثبات ریاضیاتی محکمی وجود دارد که این‌کار هم غیرممکن است. این‌بار هم ضعف از ساختار است، یعنی خط‌کش و پرگار برای تثلیث زاویه کافی نیستند، همان‌طور که پرگار برای رسم خط کافی نبود. حالا از ریاست محترم دادگاه اجازه می‌خواهم تا اثبات امکان ناپذیری تثلیث با خط کش و پرگار را بیان کنم. البته این اثبات زمان نسبتاً زیادی می‌طلبد.

پیش از اجازه‌ی رئیس دادگاه به مدیر مجله برای بیان اثبات، وکیل آقای ثلاثی اعتراض کرد که:

اعتراض دارم، این اثبات ما را از موضوع اصلی دور می‌کند. لازم می‌بینم دوباره تأکید کنم که موضوع این جلسه از دادگاه، بررسی آخرین روش تثلیث آقای ثلاثی است، و نه بررسی ناممکن بودن تثلیث با خط کش و پرگار به طور کلی.

به خاطر کمبود وقت اعتراض آقای ثلاثی وارد دانسته شد، و رئیس دادگاه به آقای مدیر یک دقیقه فرصت داد تا حرف‌هایش را به پایان برساند. و مدیر این طور ادامه داد که:

حالا که فرصتی برای ارائه‌ی این اثبات نیست، لازم می‌دانم ریاست محترم دادگاه را برای اطمینان بیشتر از صحت ادعایم، به اثبات امکان‌ناپذیری تثلیث با خط‌کش و پرگار ارجاع دهم. این اثبات را می‌توانید در فصل سوم از کتاب ریاضیات چیست؟ نوشته‌ی ریچارد کورانت و هربرت رابینز که توسط نشر نی منتشر شده، پیدا کنید.

بررسی‌های بیش‌تر موضوع تثلیث به جلسه‌ی بعد دادگاه موکول شد.

ختم جلسه!