محدودیت چندوجهی‌های منتظم

اگر از شما بپرسند چه تعداد چندضلعی منتظم وجود دارد، احتمالا زیاد فکر نمی‌کنید و با اطمینان پاسخ می‌دهید که به اندازه‌ی همه‌ی اعداد طبیعی، چندضلعی منتظم وجود دارد. درواقع برای هر عدد طبیعی مثل $n$ کافی‌است $n$ پاره‌خط به طول یکسان داشته باشید و آن‌ها را با زاویه‌ی${(n-2)\times180}/n$ دنبال هم ردیف کنید تا یک $n$-ضلعی منتظم داشته باشید. اما آیا روشی وجود دارد که برای هر $m$ دلخواه، یک $m$-وجهی منتظم بسازید؟ اصلا آیا برای هر $m$ دلخواه، یک $m$-وجهی منتظم وجود دارد؟ اگر چنین حجمی وجود داشته باشد، چند تا یال و راس دارد؟ هر وجه آن چه شکلی دارد؟ شکل دوازده‌وجهی را ببینید. آیا می‌تواند شکل وجه‌های آن را تغییر داد و به‌جای پنج‌ضلعی، از مربع یا شش‌ضلعی استفاده کرد؟
کُنج‌ها یا همان گوشه‌های چندوجهی، اولین محدودیت را برای ساخت آن ایجاد می‌کنند. در هر کُنج، دست‌کم سه وجه با هم تلاقی دارند. اگر اتصال وجه‌ها، توسط یال‌ها را باز کنیم، می‌توانیم مطابق شکل، وجه‌ها را روی یک صفحه بنشانیم. دیده‌می‌شود که مجموع زاویه‌های تشکیل‌دهنده‌ی یک کُنج، همیشه کمتر از سیصدوشست درجه است. توجه کنید که اگر مجموع این زوایا دقیقا سیصدوشست درجه باشد، آنها دقیقا روی صفحه قرار دارند، امکان تاکردن آن‌ها نیست و نمی‌توانند تشکیل کُنج ‌دهند.
شکل
اگر در هر کُنج چندوجهی‌منتظم $a$ تا $n$منتظم به‌هم رسیده باشند، مجموع زوایای این کُنج برابر است با$a\times{{(n-2)\times180}/n}$
پس باید داشته باشیم:

$a\times{{(n-2)\times180}/n} > 360$

اگر تعیین $n$ برحسب $a$ در این رابطه کمی مشکل است، می‌توان از جدول زیر کمک گرفت:

اندازه‌ زاویه‌ی داخلی $n$-ضلعی منتظم تعداد اضلاع وجه ($n$)
60 3
90 4
108 5
120 6
128.6 7
... ...

 

چون $a\geq3$ ، پس جدول بالا نشان می‌دهد که تنها با 3، 4 و 5 ضلعی‌های منتظم می‌توان چندوجهی منتظم ساخت!!!
حالا می‌توانید تعداد زیادی مثلث، مربع و 5-ضلعی منتظم ببرید و تلاش کنید با آن‌ها چندوجهی‌های گوناگون بسازید. دراین‌صورت، باز خواهید دید که هم‌آمدن و به‌هم رسیدن وجه‌ها کار ساده‌ای نیست، اگر هم بالاخره سرهم شوند و حجم بسته‌ای ساخته شود، ممکن است چندوجهی منتظم نباشد!