مثلث خیام - پاسکال

مثلث خیام پاسکال
مثلث خیام پاسکال

شکل ۱

مثلث خیام-پاسکال مثلث هندسی نیست! یعنی اصلاً اگر هندسی بود در این پرونده چه‌کار می‌کرد؟ این مثلث یک مثلث عددی است که مانند بسیاری از جدول‌های عددی دیگر پیشینه‌ی کهنی دارد. هندی‌ها، چینی‌ها، ایرانی‌ها، یونانی‌ها، رومی‌ها و حتی اروپایی‌ها سال‌ها پیش، از وجود آن خبر داشتند و هریک به منظوری آن را به‌کار برده‌اند. ریاضی‌دان‌های چینی در سده‌ی سیزدهم میلادی به این مثلث اشاره کرده‌اند. نخستین ریشه‌های این مثلث را می‌توان در مطالعات هندوها در ترکیبیات و مطالعات یونانی‌ها درباره‌ی اعداد مصور ۱ جست‌وجو کرد. نخستین بار این مثلث نیز در سده‌ی‌ دهم میلادی توسط هندی‌ها و در جریان شرح یک کتاب باستانی مربوط به سده‌ی دوم و سوم پیش‌از میلاد به تصویر کشیده‌شده‌است. تقریباً هم‌زمان با هندی‌ها، «کرجی» ۲ ریاضی‌دان ایرانی درباره‌ی این مثلث سخن به میان آورده‌است. پس از او «خیام»، ریاضی‌دان، ستاره‌شناس و شاعر بلندآوازه‌ی ایرانی، در رساله‌ای با عنوان درستی شیوه‌های هندی در جذر و کعب، که تا کنون پیدا نشده، به تعمیم قانون‌های هندی برای یافتن ریشه‌ی دوم و سوم پرداخته و روش‌هایی برای ریشه‌های چهارم و بالاتر یافته‌است که پیش از او کسی نمی‌دانسته. مشابه این روش‌ها، بعدها توسط نیوتن نیز مطرح شد و اکنون به دستور نیوتن شناخته می‌شود. این شواهد و شواهد تاریخی دیگر، تاریخ‌نگاران ریاضی را قانع کرده که بسط دوجمله‌ای و مثلث حسابی آن را خیام ابداع کرده و رسماً پیش‌نهاد شده که هردوی این‌ها به نام خیام نام‌گذاری شوند؛ بسط دوجمله‌ای خیام به جای بسط دوجمله‌ای نیوتن، و مثلث خیام به جای مثلث پاسکال. دیگر ریاضی‌دان ایرانی غیاث‌الدین جمشید کاشانی نیز در نوشته‌های خود به این مثلث اشاره‌کرده و به صراحت گفته که این جدول‌ها را از پیشینیان خود اقتباس کرده‌است.

مثلث خیام پاسکال

شکل ۲

ریاضی‌دان بزرگ چینی چو شی کی ۳ در ابتدای سده‌ی‌ چهاردهم میلادی یعنی سال ۱۳۰۳ کتابی با عنوان آیینه‌ی گران‌بهای چهار عنصر ۴ نگاشته که نقطه‌ی اوج جبر چینی به‌حساب می‌آید. او این کتاب را با مثلثی که در شکل ۱ می‌بینید آغاز کرده و از آن برای توضیح بسط دوجمله‌ای درجه‌ی چهار استفاده کرده‌است. در سده‌ی هفدهم میلادی، «بلیز پاسکال» ۵ رساله‌ای با عنوان «رساله‌ای درباره‌ی مثلث حسابی» ۶ نگاشت که در آن به بررسی ویژگی‌های مثلث خیام-پاسکال پرداخته بود. تصویری که پاسکال در رساله‌ی خود آورده‌است را می‌توانید در شکل ۲ مشاهده نمایید. یک سال پس از نگارش این رساله، مساله‌ی توزیع عادلانه‌ی جایزه در یک مسابقه‌ی ناتمام توسط یکی از شوالیه‌های به‌نام و متفکر دربار لویی چهاردهم مطرح شد. پاسکال این مساله را به کمک همین مثلث حل کرد و با «پیر دو فرما» ۷ مشاور شهر تولوز در این باره مکاتبه کرد و هنگامی که فهمید هر دو به نتیجه‌های یکسانی رسیده‌اند با خوش‌حالی گفت که «ملاحظه می‌شود که حقیقت در تولوز و پاریس یکسان است». در اروپا پیش از پاسکال نیز این مثلث توسط ریاضی‌دان ایتالیایی نیکولو فونتانا تارتاگلیا ۸ مطرح شده‌بود و از همین رو برخی این مثلث را مثلث تارتاگلیا می‌نامند. (شکل ۵) اما این مثلث با این همه داستان، چگونه ساخته می‌شود؟ اگر یک سطر نامتناهی از عدد‌ها بسازیم که در آن یک‌بار عدد ۱ (یک) ظاهرشده وبقیه‌ی عددهای آن همگی صفر هستند و پس از آن در سطر بعدی هرعدد حاصل جمع دو عدد بالای سرخودش باشد تصویری که به‌دست می‌آید مثلثی از عدد‌های غیرصفر در بین صفرهاست.(شکل بالای صفحه) اما موضوع به همین سادگی نیست! در این مثلث ویژگی‌های هیجان انگیز بسیاری نهفته است که در هفته‌های آینده به آن‌ها نیز می‌رسیم.

مثلث خیام پاسکال

شکل ۳

مثلث خیام پاسکال

شکل ۴

مثلث خیام پاسکال

شکل ۵

۱ Figurative Numbers

۲ ابوبکر محمد بن حسن حاسب کرجی ریاضی‌دان اهل کرج، سده‌ی ده و یازده میلادی.

۳ Chi-Shu-Kie

۴ Ssu Yuan Yü Chien:Precious Mirror of the Four Elements

۵ Blais Pascal

۶ Traité du triangle arithmétique

۷ Piere de Fermat

۸ Niccolò Fontana Tartaglia