عدد رنگی گره‌ها

توپولوژی-گره
شکل ۱ - عدد رنگی گره سه‌پر برابر ۹ است

این ناوردا برای گره‌ها بسیار ساده تعریف می‌شود.

همه‌ی راه‌های ممکن رنگ‌آمیزی دیاگرام یک گره با سه رنگ را در نظر بگیرید(هر تکه خمی را با یک رنگ، رنگ می‌کنیم). در این صورت در هر تقاطع، در دیاگرام یک گره، سه، دو و یا یک رنگ به‌کار رفته است. چون در مجموع از سه رنگ استفاده کرده‌ایم، این وضعیت‌ها، تمام حالت‌های ممکن هستند.

یک رنگ‌آمیزی را مناسب می‌نامیم اگر هیچ تقاطعی با دقیقاً دو رنگ، رنگ نشده‌باشد. به عبارت دیگر، درهر تقاطع از یک رنگ استفاده شده باشد یا از سه رنگ. حالا به قضیه‌ی زیر توجه‌کنید:

قضیه: تعداد رنگ‌آمیزی‌های مناسب دیاگرام هر گره یک ناوردای گره‌ها است.

اثبات قضیه‌ی بالا چندان دشوار نیست اما در‌این‌جا از آن صرف‌نظر می‌کنیم تا مجالی برای پرداختن به کاربرد‌های آن بیابیم.

علاقه‌مندان می‌توانند برای مشاهده‌ی اثبات به منابع انتهای پرونده مراجعه کنند.

حال با کمک ناوردای فوق می‌توانیم نشان‌دهیم که گره سه‌پر را نمی‌توان باز کرد. با تعریف بالا برای عدد رنگی گره‌ها، به‌سادگی می‌توان مشاهده کرد که عدد رنگی گره‌ها، به‌سادگی ۹ است(اثبات این موضوع، تمرین ترکیبیاتی ساده‌ای است). اما عدد رنگی خم گره‌نخورده(دایره‌ای روی یک صفحه) برابر ۳ است. بنابراین گره ‌سه‌پر را نمی‌توان باز‌کرد.

توپولوژی-گره
شکل ۲

با روشی مشابه می‌توان نشان داد که گره موجود در شکل را نمی توان باز کرد(این گره از بیش از یک نوار تشکیل شده‌است. به چنین گره‌هایی در اصطلاح یک زنجیر می‌گویند).

حال به اولین مسئله‌ای باز‌می‌گردیم که با آن این پرونده را آغاز کردیم و با اندکی تغییر دوباره آن را بررسی می‌کنیم.

در مسئله‌ی اول دیدیم که اگر بدن ما به اندازه‌ی کافی کشسان باشد، آنگاه اگر با انگشت‌های اشاره و شصت دو دست خود، دو حلقه داخل‌هم بسازیم، بدون آن که انگشتانمان را باز کنیم، می‌توانیم دست‌هایمان را بازکنیم. با این یادآوری، به مسئله‌ی هشتم فکر کنید.